概率论与数理统计 · 按章节题型分类试卷
📚 7 套真题（2022–2025）全部题目 · 按「章节 → 题型」重新分类重组 · 共 140 题
⚠ 已排除：《概率统计 24-25(2)-48A》不参与本次分类（该套保留用于单独系统练习）。以下题目仅来自其余 7 套试卷。
本卷为「分类重组试卷」：把 7 套真题里的每一道题，按其所考 章节 与 题型 重新归类整理。做题时可逐章逐题型集中突破，每道题末尾标注 来源（如「23-24(1)A·第17题」），便于回到原卷核对答案。
全卷结构总览
| 章节 | 内容 | 题数 | 主要题型 |
|---|
| Ch1 | 随机事件与概率 | 24 | 事件运算 · 古典/几何概型 · 条件概率 · 全概率+贝叶斯 |
| Ch2 | 一维随机变量 | 39 | 分布律 · 分布函数/密度 · 常用分布 · 分布函数法 · 数字特征 |
| Ch3 | 多维随机变量 | 27 | 联合分布律 · 联合/边缘/条件密度 · 独立性 · 二维正态 · 卷积 · 协方差 |
| Ch4 | 极限定理 | 11 | 切比雪夫 · 大数定律 · 中心极限定理 |
| Ch5 | 数理统计基础 | 11 | 统计量 · 三大抽样分布 (\(\chi^2/t/F\)) |
| Ch6 | 参数估计 | 18 | 矩估计 · 极大似然 · 无偏/有效性 · 置信区间 |
| Ch7 | 假设检验 | 10 | 两类错误 · 均值检验 · 方差检验 |
| 合计 | 140 题 | — |
来源代号说明：「22-23(2)A」= 概率统计 2022-2023 学年第二学期 A 卷；「23-24(1)A」= 2023-2024 学年第一学期 A 卷；「23-24(2)B」= 2023-2024 学年第二学期 B 卷；「24-25(2)B」= 2024-2025 学年第二学期 B 卷。A/B 为同届两套不同试卷，难度相当，可交叉练习。
Ch1随机事件与概率
1.1 事件运算与表示
1.设随机事件 \(A\)、\(B\) 恰好有一个发生的概率为（ ）22-23(2)A·第1题3分
(A) \(P(A)+P(B)-P(AB)\)
(B) \(P(A)+P(B)\)
(C) \(P(A)+P(B)-2P(AB)\)
(D) \(P(A)-P(B)\)
2.已知 \(A\)、\(B\)、\(C\) 为三个随机事件，则随机事件 \(A-(B\cup C)\) 表示（ ）23-24(1)B·第1题3分
(A) \(A\) 发生，\(B\)、\(C\) 不都发生
(B) \(A\) 发生，\(B\)、\(C\) 都不发生
(C) \(A\) 不发生，\(B\)、\(C\) 都发生
(D) \(A\) 不发生，\(B\)、\(C\) 不都发生
3.已知随机事件 \(A\)、\(B\)、\(C\)，则随机事件“\(A\)、\(B\) 中至少有一个发生且 \(B\)、\(C\) 中至少有一个发生”可表示为（ ）23-24(2)A·第1题3分
(A) \(A\cup BC\)
(B) \(B\cup AC\)
(C) \(C\cup AB\)
(D) \(A\cup B\cup C\)
4.从甲地到乙地只有 1 条道路（拥堵记为 \(A\)），从乙地到丙地有 2 条道路（拥堵分别记为 \(B\)、\(C\)）。事件“可以找到从甲地经乙地到丙地全程无拥堵的道路”可表示为（ ）24-25(2)B·第1题3分
(A) \(\overline{A}\cup(\overline{B}\,\overline{C})\)
(B) \(\overline{A}\cup(\overline{B}C)\)
(C) \(\overline{A}(\overline{B}\cup\overline{C})\)
(D) \(\overline{A}(\overline{B}\cup C)\)
5.已知随机事件 \(A\)、\(B\)，且 \(P(AB)=P(\overline{A}\,\overline{B})\)，则下列结论正确的是（ ）23-24(2)B·第1题3分
(A) \(A\) 和 \(B\) 互不相容
(B) \(A\cup B\) 是必然事件
(C) \(P(A)+P(B)=1\)
(D) 以上三个选项均不正确
6.设 \(P(A)=0.6\)，\(P(B)=0.5\)，\(P(AB)=0.2\)，则 \(P(A\overline{B}\mid A\cup B)=\) __________。23-24(2)A·第9题2分
答案：\(\dfrac{4}{9}\)7.设随机事件 \(A\)、\(B\) 互斥，且满足 \(P(A)=0.2\)，\(P(B\mid A\cup B)=0.6\)，则 \(P(B)=\) __________。22-23(2)B·第9题2分
答案：\(0.3\)8.已知事件 \(A\)、\(B\) 恰有一个发生的概率为 0.3，且 \(P(A)+P(B)=0.5\)，则 \(A\)、\(B\) 至少有一个不发生的概率为 __________。23-24(1)B·第10题2分
答案：\(0.9\)9.设随机事件 \(A\)、\(B\) 独立，且 \(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.4\)，则 \(P(A-B)=\) __________。23-24(2)B·第9题2分
答案：\(0.3\)1.2 古典概型与几何概型
10.从 5 个数 \(1,2,3,4,5\) 中任取 3 个数再按从小到大排列，设 \(X\) 是中间那个数，则（ ）22-23(2)B·第2题3分
(A) \(P(X=2)=\dfrac{1}{5},\ EX=\dfrac{5}{2}\)
(B) \(P(X=2)=\dfrac{1}{5},\ EX=3\)
(C) \(P(X=2)=\dfrac{3}{10},\ EX=\dfrac{5}{2}\)
(D) \(P(X=2)=\dfrac{3}{10},\ EX=3\)
11.袋中装有标记编号为 1 到 10 的 10 个球，现随机取出 4 个并按编号从小到大排列，则排在第二个的球编号为 6 的概率是（ ）23-24(2)B·第2题3分
(A) \(\dfrac{1}{5}\)
(B) \(\dfrac{1}{6}\)
(C) \(\dfrac{1}{7}\)
(D) \(\dfrac{1}{8}\)
12.设随机变量 \(X\)、\(Y\) 相互独立，且都服从 \([0,1]\) 上的均匀分布，则 \(P(X^2+Y^2\le 1)=\) __________。23-24(1)A·第11题2分
答案：\(\dfrac{\pi}{4}\)13.将 4 个球随机放入 3 个盒子中，每个盒子中都至少有 1 个球的概率是 __________。24-25(2)B·第11题2分
答案：\(\dfrac{4}{9}\)1.3 条件概率与独立性
14.设 \(P(A)=\dfrac{1}{2}\)，\(P(B)=\dfrac{1}{3}\)，\(P(A\mid B)=2P(A\mid\overline{B})\)，则 \(P(B\mid A)=\)（ ）22-23(2)A·第2题3分
(A) \(\dfrac{1}{3}\)
(B) \(\dfrac{2}{5}\)
(C) \(\dfrac{1}{2}\)
(D) \(\dfrac{2}{3}\)
15.已知某机器按设计要求使用寿命超过 20 年的概率为 0.8，超过 30 年的概率为 0.6，设 \(X\) 表示该机器的使用寿命，则 \(P(X\le 30\mid X\gt 20)=\)（ ）22-23(2)B·第3题3分
(A) \(\dfrac{1}{4}\)
(B) \(\dfrac{3}{4}\)
(C) \(0.4\)
(D) \(0.6\)
16.设事件 \(A\)、\(B\) 相互独立，\(A\)、\(C\) 互不相容，\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(C\mid B)=0.2\)，则 \(P(C\mid A\cup B)=\) __________。23-24(1)A·第9题2分
答案：\(\dfrac{3}{29}\)17.已知 \(0\lt P(A)\lt 1\)，\(0\lt P(B)\lt 1\)，设 \(P(B\mid A)=2P(B\mid\overline{A})\)，\(P(\overline{B}\mid A)=\dfrac{1}{2}P(\overline{B}\mid\overline{A})\)，则（ ）23-24(2)A·第2题3分
(A) \(P(B\mid A)=\dfrac{1}{3}\)
(B) \(P(B\mid A)=\dfrac{2}{3}\)
(C) \(P(A\mid B)=\dfrac{1}{3}\)
(D) \(P(A\mid B)=\dfrac{2}{3}\)
18.已知 \(P(A)=0.6\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(B\mid A)=2P(B\mid\overline{A})\)，则 \(P(A\mid B)=\) __________。24-25(2)B·第9题2分
答案：\(\dfrac{3}{4}\)19.随机投掷 2 枚骰子，用 \(A\) 表示“第 1 枚骰子点数为 2”，\(B\) 表示“第 2 枚骰子点数为 5”，\(C\) 表示“两枚骰子点数之和为 7”，则（ ）22-23(2)B·第1题3分
(A) \(A,B\) 不独立，\(A,C\) 不独立
(B) \(A,C\) 独立，\(B,C\) 不独立
(C) \(A,B,C\) 两两独立，但不相互独立
(D) \(A,B,C\) 相互独立
1.4 全概率公式与贝叶斯公式
20.设某一游戏分为两关，甲通过这两道关卡的概率分别为 0.6、0.5，乙通过这两道关卡的概率分别为 0.5、0.4。从甲、乙两人中随机选取一人首先上场，通过一关后可继续下一关游戏，直到某关卡通关失败或完全通关为止；若其在某关卡失败，则另一人上场从当前关卡继续游戏。（1）求两道关卡全部通关的概率；（2）若两道关卡全部通关，求甲先上场的概率。22-23(2)A·第14题8分
21.设第一只盒子中装有 3 只蓝色球、2 只绿色球、2 只白色球，第二只盒子中装有 2 只蓝色球、3 只绿色球、4 只白色球。独立地在两只盒子中分别随机取一只球。（1）求至少有一只蓝色球的概率；（2）已知至少有一只蓝色球，求有一只蓝色球、一只白色球的概率。22-23(2)B·第15题8分
22.某人下午 5:00 下班，根据以往经验，乘坐不同交通工具到家的概率如下表（乘地铁：早于 5:40 概率 0.20、5:40–5:45 为 0.30、5:45–5:50 为 0.40、晚于 5:50 为 0.10；开车：对应为 0.30、0.35、0.20、0.15）。某天他抛一枚均匀硬币决定乘地铁还是开车回家。求：（1）他在 5:45–5:50 到家的概率；（2）如果他是在 5:45–5:50 到家的，则他乘地铁回家的概率是多少？23-24(1)A·第17题8分
23.第一袋中有 2 个白球 4 个黑球，第二袋中有 6 个白球 2 个黑球，现从这两袋中各任取一球，再从取出的两球中任取一球。（1）求这球是白球的概率；（2）如发现这球是白球，问原先从两个袋子中取出的是相同颜色球的概率是多少？23-24(1)B·第16题8分
24.设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为 0.1，乙河流泛滥的概率为 0.2，当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为 0.3，则该时期内这个地区遭受水灾的概率是 __________。23-24(2)B·第10题2分
答案：\(0.27\)
Ch2一维随机变量
2.1 分布律与常用离散分布（二项 / 泊松 / 几何）
25.设盒中有 3 种颜色的卡片各 2 张。从中随机抽取卡片，每次 1 张，不放回，直到每种颜色的卡片至少被抽出 1 张为止，记 \(X\) 为抽出的卡片数，则（ ）22-23(2)A·第3题3分
(A) \(P(X=3)=\dfrac{1}{3},\ EX=\dfrac{19}{5}\)
(B) \(P(X=3)=\dfrac{1}{3},\ EX=4\)
(C) \(P(X=3)=\dfrac{2}{5},\ EX=\dfrac{19}{5}\)
(D) \(P(X=3)=\dfrac{2}{5},\ EX=4\)
26.设某地区一星期内发生火灾事故的次数服从泊松分布 \(P(2)\)，则该地区一星期内发生的火灾事故次数不超过 2 次的概率是 __________。22-23(2)A·第9题2分
答案：\(5e^{-2}\)27.设随机变量 \(X\) 服从泊松分布 \(P(\lambda)\)，若 \(P(X=2)=P(X=3)\)，则 \(\lambda=\) __________，\(P(X\ge 1)=\) __________。22-23(2)B·第10题4分
答案：\(\lambda=3\)；\(P(X\ge 1)=1-e^{-3}\)28.设随机变量 \(X\) 服从泊松分布 \(P(\lambda)\)，\(Y\) 服从泊松分布 \(P(2\lambda)\)，且 \(P(X\lt 1)=\dfrac{1}{3}\)，则 \(P(Y\ge 1)\) 等于（ ）23-24(1)A·第1题3分
(A) \(\dfrac{8}{9}\)
(B) \(\dfrac{1}{9}\)
(C) \(\dfrac{1}{3}\)
(D) \(\dfrac{2}{3}\)
29.设随机变量 \(X\)、\(Y\) 相互独立且都服从两点分布 \(B(1,p)\)，则下列各式中：① \(X^2\sim B(1,p)\)；② \(XY\sim B(1,p^2)\)；③ \(X-Y\sim B(1,2p)\)；④ \(X+Y\sim B(2,p)\)。正确的结论有（ ）23-24(1)A·第3题3分
(A) ①②③
(B) ②③④
(C) ①③④
(D) ①②④
30.设随机变量 \(X\) 的分布律为 \(P(X=k)=3\lambda^k\)（\(k=1,2,\dots\)），则 \(\lambda=\) __________。23-24(1)A·第10题2分
答案：\(\dfrac{1}{4}\)31.设随机变量 \(X\) 的分布列为 \(P\{X=n\}=An+B\)（\(n=1,2,3,4,5\)），满足 \(P\{X\ge 3\}=\dfrac{3}{4}\)，则 \(A=\) __________，\(B=\) __________。23-24(2)A·第10题4分
答案：\(A=\dfrac{1}{20}\)；\(B=\dfrac{1}{20}\)32.设 \(X\sim P(\lambda)\)，若 \(E(X^2)=12\)，则 \(P\{X\le 1\}=\) __________。23-24(2)A·第11题2分
答案：\(4e^{-3}\)33.若随机变量 \(X\sim B(2,0.4)\)，其分布函数是 \(F(x)\)，则 \(F(1.5)=\)（ ）23-24(2)B·第3题3分
(A) \(1\)
(B) \(0.84\)
(C) \(0.16\)
(D) \(0\)
34.设 \(X\sim P(\lambda)\)，若 \(E(X^2)=12\)，则 \(\lambda=\) __________，\(P\{X\le 1\mid X\le 2\}=\) __________。24-25(2)B·第12题4分
答案：\(\lambda=3\)；\(\dfrac{8}{17}\)35.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 \(\dfrac{1}{3}\)，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 __________。23-24(1)B·第9题2分
答案：\(\dfrac{4}{27}\)36.一个盒子中有 4 个小球，球上分别标有号码 \(0,1,1,2\)，有放回地取 2 个球，以 \(X\) 表示两次抽到球上号码数的乘积。求：（1）\(X\) 的分布律；（2）方差 \(DX\)。23-24(1)A·第18题10分
37.盒中有 1 红、1 黄、2 蓝共 4 个球，从中无放回随机取球，每次取 1 个，直到红球被取出或全部蓝球被取出，记取球次数为 \(X\)。（1）求 \(X\) 的分布列；（2）计算 \(E(X)\)。24-25(2)B·第14题8分
2.2 分布函数与密度函数（含性质判定）
38.设连续型随机变量 \(X\) 的分布函数 \(F(x)=\begin{cases}1, & x\gt \dfrac{\pi}{2}\\ A+B\cos x, & 0\le x\le \dfrac{\pi}{2}\\ 0, & x\lt 0\end{cases}\)，则 \(A=\) __________，\(B=\) __________。22-23(2)A·第10题4分
答案：\(A=1\)；\(B=-1\)39.下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数的是（ ）23-24(1)B·第3题3分
(A) \(F(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\)
(B) \(F(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{2}(1-e^{-x}), & x\gt 0\\ 0, & x\le 0\end{cases}\)
(C) \(F(x)=\begin{cases}\dfrac{x+1}{x+2}, & x\gt 0\\ -\dfrac{1}{x-1}, & x\le 0\end{cases}\)
(D) \(F(x)=\dfrac{1}{\pi}\arctan x+\dfrac{1}{2}\)
40.设随机变量 \(X\) 的概率密度函数 \(f(x)\) 满足 \(f(2+x)=f(2-x)\)，其分布函数为 \(F(x)\)，则 \(F(0)+F(4)\) 等于（ ）23-24(1)A·第4题3分
(A) \(0\)
(B) \(0.5\)
(C) \(1\)
(D) \(2\)
41.设连续型随机变量 \(X\) 的分布函数 \(F(x)=\begin{cases}0, & x\lt 0\\ \dfrac{B\sin x}{1+\sin x}, & 0\le x\le A\\ 1, & x\gt A\end{cases}\)，则下列选项中可能的是（ ）23-24(2)A·第3题3分
(A) \(A=\dfrac{\pi}{2},\ B=1\)
(B) \(A=\dfrac{3\pi}{2},\ B=1\)
(C) \(A=\dfrac{\pi}{2},\ B=2\)
(D) \(A=\dfrac{3\pi}{2},\ B=2\)
42.设 \(f(x)\) 为某一连续型随机变量 \(X\) 的概率密度函数，且 \(f(1+x)=f(1-x)\)，\(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx=0.6\)，则 \(P\{X\lt 0\}=\)（ ）23-24(2)B·第4题3分
(A) \(0.2\)
(B) \(0.4\)
(C) \(0.6\)
(D) \(0.8\)
43.设 \(F(x)\) 是分布函数，则（ ）24-25(2)B·第3题3分
(A) \(F(x^2)\) 是分布函数，\(F^2(x)\) 是分布函数
(B) \(F(x^2)\) 是分布函数，\(F^2(x)\) 不是分布函数
(C) \(F(x^2)\) 不是分布函数，\(F^2(x)\) 是分布函数
(D) \(F(x^2)\) 不是分布函数，\(F^2(x)\) 不是分布函数
44.设连续型随机变量 \(X\) 的分布函数 \(F(x)=\begin{cases}0, & x\lt -1\\ \dfrac{1}{2}(1+x^3), & -1\le x\le 1\\ 1, & x\gt 1\end{cases}\)。求：（1）\(P\{-\dfrac{1}{3}\lt X\lt \dfrac{2}{3}\}\)；（2）\(X\) 的概率密度函数 \(f(x)\)；（3）\(E(X^2)\)。23-24(2)B·第16题12分
45.设连续型随机变量 \(X\) 的分布函数 \(F(x)=\begin{cases}1, & x\gt \dfrac{\pi}{2}\\ A+\dfrac{1}{\pi}(x+\cos x), & -\dfrac{\pi}{2}\le x\le \dfrac{\pi}{2}\\ 0, & x\lt -\dfrac{\pi}{2}\end{cases}\)。（1）验证 \(A=\dfrac{1}{2}\)；（2）求 \(X\) 的密度函数 \(f(x)\)；（3）求 \(Y=\sin X\) 的密度函数。24-25(2)B·第15题12分
2.3 常用连续分布（正态 / 指数 / 均匀）
46.设 \(X\) 的密度函数 \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\left[e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}+e^{-\frac{(x-1)^2}{2\sigma^2}}\right]\)，\(-\infty\lt x\lt \infty\)，则（ ）22-23(2)A·第4题3分
(A) \(\sigma^2=\dfrac{1}{4},\ EX=\dfrac{1}{2}\)
(B) \(\sigma^2=\dfrac{1}{4},\ EX=1\)
(C) \(\sigma^2=\dfrac{1}{2},\ EX=\dfrac{1}{2}\)
(D) \(\sigma^2=\dfrac{1}{2},\ EX=1\)
47.设随机变量 \(X\sim N(0,2)\)，则 \(Y=2X\) 的概率密度函数为（ ）22-23(2)B·第4题3分
(A) \(\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-y^2/16}\)
(B) \(\dfrac{1}{4\sqrt{\pi}}e^{-y^2/16}\)
(C) \(\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-y^2/8}\)
(D) \(\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/8}\)
48.设随机变量 \(X_1\sim N(0,1)\)，\(X_2\sim N(0,2^2)\)，\(X_3\sim N(5,3^2)\)，且 \(p_i=P(-2\le X_i\le 2)\)，\(i=1,2,3\)，则（ ）23-24(1)A·第2题3分
(A) \(p_1\gt p_2\gt p_3\)
(B) \(p_2\gt p_1\gt p_3\)
(C) \(p_3\gt p_2\gt p_1\)
(D) \(p_3\gt p_1\gt p_2\)
49.设 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，其中 \(\sigma\gt 0\)。令 \(p=P\{X\gt \mu-2\sigma\}\)，\(q=P\{X\lt \mu+\sigma\}\)，\(r=P\{\mu-\sigma\lt X\lt \mu+\sigma\}\)，则（ ）24-25(2)B·第4题3分
(A) \(p\lt q,\ q\lt r\)
(B) \(p\lt q,\ q\gt r\)
(C) \(p\gt q,\ q\lt r\)
(D) \(p\gt q,\ q\gt r\)
50.设 \(X\) 服从指数分布，若 \(P\{X\gt 2\mid X\gt 1\}=\dfrac{1}{3}\)，则 \(P\{X\lt 1\mid X\lt 2\}=\)（ ）23-24(2)A·第4题3分
(A) \(\dfrac{1}{3}\)
(B) \(\dfrac{1}{2}\)
(C) \(\dfrac{2}{3}\)
(D) \(\dfrac{3}{4}\)
51.已知随机变量 \(X\) 服从指数分布 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\)，若 \(P(X\ge 1)=\dfrac{1}{2}\)，则 \(P(X\ge 3\mid X\ge 1)=\) __________。23-24(1)B·第11题2分
答案：\(\dfrac{1}{4}\)52.设随机变量 \(X\) 服从指数分布，均值为 \(\dfrac{1}{2}\)，则（ ）22-23(2)B·第6题3分
(A) \(E(X^2)=\dfrac{1}{2},\ \mathrm{Cov}(X^2,X-2)=\dfrac{1}{2}\)
(B) \(E(X^2)=\dfrac{1}{2},\ \mathrm{Cov}(X^2,X-2)=32\)
(C) \(E(X^2)=8,\ \mathrm{Cov}(X^2,X-2)=\dfrac{1}{2}\)
(D) \(E(X^2)=8,\ \mathrm{Cov}(X^2,X-2)=32\)
53.设 \(X\sim U(0,1)\)，\(Y=aX+b\)，且 \(EY=a\)，\(DY=b\)，则 \(a=\) __________，\(b=\) __________。22-23(2)A·第11题4分
答案：\(a=6\)；\(b=3\)2.4 随机变量函数的分布（分布函数法 Y=g(X)）
54.设连续型随机变量 \(X\) 的密度函数为 \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{2}, & 0\lt x\lt 2\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)。求：（1）\(X\) 的分布函数 \(F(x)\)；（2）\(P(F(X)\gt \dfrac{1}{3})\)。22-23(2)B·第16题8分
55.设随机变量 \(X\) 的概率密度函数 \(f(x)=\begin{cases}a(x+1), & -1\le x\lt 0\\ 1-x, & 0\le x\lt 1\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)。求：（1）常数 \(a\)；（2）\(P(-0.5\lt X\lt 0.5)\)；（3）\(Y=X^2\) 的概率密度函数。23-24(1)A·第19题12分
56.设连续型随机变量 \(X\) 的概率密度函数 \(f(x)=\begin{cases}ax, & 1\le x\lt 2\\ b, & 2\le x\lt 3\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)，且满足 \(P(1\le X\lt 2)=2P(2\le X\lt 3)\)。求：（1）常数 \(a\) 与 \(b\) 的值；（2）\(X\) 的分布函数；（3）随机变量 \(Y=9X^2+1\) 的数学期望。23-24(1)B·第17题12分
57.设连续型随机变量 \(X\) 的概率密度函数 \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{6}+\dfrac{1}{2x^2}, & 1\lt x\lt 3\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)。求：（1）\(P\{X\lt 2\}\)；（2）\(E\left(\dfrac{1}{X}\right)\)；（3）\(Y=|X-2|\) 的概率密度函数。23-24(2)A·第15题12分
58.设随机变量 \(X\) 服从参数为 1 的指数分布，则 \(Y=\max\{X,\dfrac{1}{X}\}\) 的分布函数 \(F_Y(y)=\) __________。23-24(2)B·第11题2分
答案：\(F_Y(y)=\begin{cases}0, & y\lt 1\\ e^{-1/y}-e^{-y}, & y\ge 1\end{cases}\)59.设随机变量 \(X\) 的密度函数 \(f(x)=\begin{cases}x^2, & -1\lt x\lt 0\\ Ax, & 0\lt x\lt 1\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)，则 \(A=\) __________；若 \(P\{X\gt c\}=\dfrac{1}{2}\)，则 \(c=\) __________。24-25(2)B·第10题4分
答案：\(A=\dfrac{4}{3}\)；\(c=\dfrac{1}{2}\)2.5 数字特征（期望 / 方差）
60.设 \(EX=1\)，\(EY=2\)，\(DX=3\)，\(DY=1\)，且 \(X\) 与 \(Y\) 独立，令 \(Z=2X+Y-1\)，则 \(EZ=\) __________，\(DZ=\) __________。22-23(2)A·第12题4分
答案：\(EZ=3\)；\(DZ=13\)61.设随机变量 \(X\) 的密度函数 \(f(x)=\begin{cases}ax^2+b, & -1\lt x\lt 2\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)，且 \(EX=1\)。（1）求常数 \(a\)、\(b\)；（2）计算 \(E(X^3)\)。22-23(2)A·第15题8分
62.设随机变量 \(X\) 的概率密度函数 \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{2}\cos\dfrac{x}{2}, & 0\lt x\lt \pi\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)，对 \(X\) 重复观察 4 次，用 \(Y\) 表示 4 次观察中出现 \(\{X\gt \dfrac{\pi}{3}\}\) 的次数，则 \(E(Y)=\) __________。23-24(1)B·第12题2分
答案：\(2\)63.设 \(E(X)=1\)，\(E(Y)=2\)，\(E(X^2)=3\)，\(E(Y^2)=8\)，\(D(X+Y)=4\)，则 \(\mathrm{Cov}(X,Y)=\) __________，\(D(2X-Y)=\) __________。24-25(2)B·第13题4分
答案：\(\mathrm{Cov}(X,Y)=-1\)；\(D(2X-Y)=16\)
Ch3多维随机变量
3.1 联合分布律与边缘分布（离散型）
64.设 \(X\)、\(Y\) 的联合分布表为：\(Y=-1\) 行对应 \(X=1,2,3\) 为 \(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{4}\)；\(Y=1\) 行为 \(a,b,c\)。（1）若 \(X\)、\(Y\) 独立，求 \(a,b,c\)；（2）若 \(X\)、\(Y\) 不相关，且 \(P(X+Y\ge 3)=\dfrac{1}{6}\)，求 \(a,b,c\)。22-23(2)A·第16题8分
65.已知随机变量 \(X\)、\(Y\) 的联合分布律为：\(P(X=1,Y=-1)=0.3\)，\(P(X=2,Y=5)=0.3\)，\(P(X=1,Y=5)=0.2\)，\(P(X=2,Y=-1)=0.2\)。则以下结论正确的是（ ）22-23(2)B·第7题3分
(A) \(\min\{X,Y\}\) 与 \(\min\{X,Y-1\}\) 同分布
(B) \(\min\{X,Y\}\) 与 \(\min\{X,Y-\dfrac{1}{2}\}\) 同分布
(C) \(\max\{X,Y\}\) 与 \(\max\{X,Y-1\}\) 同分布
(D) \(\max\{X,Y\}\) 与 \(\max\{X,Y-\dfrac{1}{2}\}\) 同分布
66.设二维随机变量 \((X,Y)\) 的联合分布律为三阶表（\(X\)、\(Y\) 各取 \(-1,0,1\)，含常数 \(a,b,c\)），且满足 \(E(X)=-0.2\)，\(P(Y\le 0\mid X\le 0)=0.5\)。求：（1）\(a,b,c\) 的值；（2）\(X+Y\) 的分布列。22-23(2)B·第17题10分
67.设随机变量 \((X,Y)\) 服从分布律（\(X\in\{0,1\}\)，\(Y\in\{0,1\}\)，含常数 \(a,b\)），已知事件 \(\{X+Y=1\}\) 与 \(\{X=0\}\) 相互独立。求：（1）常数 \(a,b\) 的值；（2）\(\mathrm{Cov}(X+Y,X-Y)\)。23-24(1)B·第18题10分
68.设有红色卡片 3 张（数字 \(1,1,2\)）、蓝色卡片 2 张（数字 \(1,3\)），从这 5 张卡片中随机抽取 3 张，记 \(X\) 为抽到的红卡数字之和，\(Y\) 为抽到的蓝卡数字之和。求：（1）\(X\)、\(Y\) 的联合分布列；（2）\(X\)、\(Y\) 的边缘分布列；（3）\(Z=X+Y\) 的分布列和 \(EZ\)。23-24(2)A·第16题14分
69.设离散型随机变量 \((X,Y)\) 的联合分布表为（\(X\in\{0,1\}\)，\(Y\in\{0,2,4\}\)，含常数 \(a,b\)），\(F(x,y)\) 是 \((X,Y)\) 的联合分布函数，且 \(F(1,3)=\dfrac{11}{18}\)。求：（1）\(a,b\) 的值；（2）\(X\)、\(Y\) 的边缘分布列；（3）\(Z=XY\) 的分布列和 \(EZ\)。23-24(2)B·第17题14分
70.设 \(X\)、\(Y\) 的联合分布表为（\(Y\in\{0,1\}\)，\(X\in\{1,2,3\}\)，含常数 \(a,b\)），且 \(P\{X+Y\gt 2\}=\dfrac{1}{2}\)。求：（1）常数 \(a,b\)；（2）\(X\) 的边缘分布列。24-25(2)B·第16题8分
3.2 联合密度、边缘密度与条件分布（连续型）
71.设随机变量 \((X,Y)\) 的密度函数是 \(f(x,y)=\begin{cases}C(x+y)e^{-y}, & 0\lt x\lt y\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)。（1）验证 \(C=\dfrac{1}{3}\)；（2）计算 \(P(Y\gt 2X)\)；（3）求 \(Z=X+Y\) 的密度函数 \(f_Z(z)\)；（4）求条件密度 \(f_{X\mid Y}(x\mid y)\)，并求 \(P(X\gt \dfrac{1}{2}\mid Y=1)\)。22-23(2)A·第17题16分
72.设 \((X,Y)\) 是二维连续型随机变量，\(X\) 的边缘密度函数 \(f_X(x)=\begin{cases}3x^2, & 0\lt x\lt 1\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)，在给定 \(X=x\ (0\lt x\lt 1)\) 的条件下，\(Y\) 的条件概率密度函数为 \(f_{Y\mid X}(y\mid x)=\begin{cases}\dfrac{3y^2}{x^3}, & 0\lt y\lt x\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)。求：（1）\((X,Y)\) 的概率密度函数 \(f(x,y)\)；（2）\(Y\) 的边缘密度函数 \(f_Y(y)\)；（3）\(P(X+Y\gt 1)\)。22-23(2)B·第18题12分
73.设二维随机变量 \((X,Y)\) 的联合概率密度函数为 \(f(x,y)=\begin{cases}e^{-y}, & 0\lt x\lt y\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)。求：（1）\(P(Y\lt 4\mid X\gt 2)\)；（2）\(Y\) 的边缘概率密度函数；（3）\(P(X\gt 2\mid Y=4)\)。23-24(1)A·第20题12分
74.设二维连续型随机变量 \((X,Y)\) 的联合概率密度函数 \(f(x,y)=\begin{cases}xy, & 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 2\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)。求：（1）\(P(X+Y\gt 1)\)；（2）边缘概率密度 \(f_X(x)\) 和条件概率密度 \(f_{X\mid Y}(x\mid y)\)，判断 \(X\) 与 \(Y\) 是否相互独立并说明理由；（3）\(Z=X+Y\) 的概率密度函数 \(f_Z(z)\)。23-24(1)B·第19题12分
75.设随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度函数 \(f(x,y)=\begin{cases}C(1+x^2), & 0\lt y\lt x\lt 2\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)。（1）验证常数 \(C=\dfrac{1}{6}\)；（2）计算 \(P\{X\gt 1,\ X+Y\lt 2\}\)；（3）求条件密度函数 \(f_{Y\mid X}(y\mid x)\) 并计算 \(P\{Y\lt 1\mid X=\dfrac{3}{2}\}\)。23-24(2)A·第17题16分
76.设随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度函数 \(f(x,y)=\begin{cases}axy, & x\gt 0,\ y\gt 0,\ 2x+y\lt 2\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)。（1）求常数 \(a\)；（2）求边缘密度函数 \(f_X(x)\)；（3）求 \(P\{Y\lt \dfrac{1}{2}\mid X=\dfrac{1}{2}\}\)。23-24(2)B·第18题16分
77.设 \(X\) 的密度函数 \(f_X(x)=\begin{cases}3x^2, & 0\lt x\lt 1\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)，当 \(X=x\) 时 \(Y\sim U(x,2x)\)。（1）写出 \((X,Y)\) 的联合密度函数 \(f(x,y)\)；（2）求 \(P\{X+Y\lt 2\}\)；（3）计算 \(P\{X\lt \dfrac{1}{2}\mid Y=\dfrac{2}{3}\}\)。24-25(2)B·第17题12分
3.3 独立性判断
78.设 \(X\) 服从 \([-a,a]\ (a\gt 0)\) 上的均匀分布，且 \(Y=X^2\)，则 \(X\) 与 \(Y\)（ ）23-24(1)B·第2题3分
(A) 相关且独立
(B) 相关不独立
(C) 独立不相关
(D) 不独立不相关
79.设随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立且 \(X\sim B(1,\dfrac{1}{2})\)，\(Y\sim U(0,1)\)，则 \(P(X+Y\le \dfrac{1}{3})=\)（ ）23-24(1)B·第4题3分
(A) \(\dfrac{1}{6}\)
(B) \(\dfrac{1}{3}\)
(C) \(\dfrac{1}{4}\)
(D) \(\dfrac{1}{2}\)
80.设 \((X,Y)\) 的联合密度函数 \(f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{1}{2}\sin(x+y)+\dfrac{1}{2}\sin(x-y), & 0\lt x\lt \dfrac{\pi}{2},\ -\dfrac{\pi}{2}\lt y\lt 0\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)，则（ ）23-24(2)A·第5题3分
(A) \(P\{X+Y\gt 0\}=\dfrac{1}{2}\)
(B) \(P\{X-Y\gt 0\}=\dfrac{1}{2}\)
(C) \(X\)、\(Y\) 独立
(D) \(X\)、\(Y\) 不独立
3.4 二维正态分布
81.设二维随机变量 \((X,Y)\sim N(0,0,2^2,2^2,0)\)，则 \(P(X\lt Y)=\) __________。23-24(1)A·第12题2分
答案：\(\dfrac{1}{2}\)82.设随机变量 \((X,Y)\) 服从二维正态分布 \(N(0,0;1,4;-\dfrac{1}{2})\)，则下列随机变量中服从标准正态分布且与 \(X\) 独立的是（ ）23-24(1)B·第6题3分
(A) \(\dfrac{\sqrt{5}}{5}(X+Y)\)
(B) \(\dfrac{\sqrt{5}}{5}(X-Y)\)
(C) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}(X+Y)\)
(D) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}(X-Y)\)
83.设二维随机变量 \((X,Y)\sim N(-1,-1,2,5,0)\)，则 \(E(XY^2)=\)（ ）23-24(2)B·第5题3分
(A) \(6\)
(B) \(-6\)
(C) \(9\)
(D) \(-9\)
3.5 Z = X + Y 的分布（卷积）
84.设随机变量 \(X\)、\(Y\) 独立且 \(X\) 服从指数分布 \(\mathrm{Exp}(1)\)，\(Y\) 服从指数分布 \(\mathrm{Exp}(2)\)，则 \(X+Y\) 的概率密度函数是 __________。23-24(1)A·第13题2分
答案：\(f(z)=2(e^{-z}-e^{-2z}),\ z\gt 0\)3.6 协方差与相关系数
85.设随机变量 \(X\)、\(Y\) 不相关，\(DX=2\)，\(DY=7\)，则 \(3X-Y\) 和 \(X+Y\) 的相关系数为 __________。22-23(2)B·第11题2分
答案：\(-\dfrac{1}{15}\)86.设随机变量 \(X\sim N(1,4^2)\)，\(Y\sim U(0,6)\)，且 \(X\)、\(Y\) 的相关系数 \(\rho_{XY}=-0.25\)，令 \(Z=\dfrac{X}{4}+Y\)，则 \(\mathrm{Cov}(X,Z)=\) __________。23-24(1)A·第14题2分
答案：\(4-\sqrt{3}\)87.设 \((X,Y)\) 服从二维正态分布。若 \(DY=3DX\) 且 \(X+Y\) 与 \(2X-Y\) 独立，则 \(X\)、\(Y\) 的相关系数 \(\rho(X,Y)=\)（ ）23-24(2)A·第6题3分
(A) \(-\dfrac{1}{3}\)
(B) \(\dfrac{1}{3}\)
(C) \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
(D) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
88.设随机变量 \(X\)、\(Y\) 独立，标准差分别为 \(\sigma(X)=3\)，\(\sigma(Y)=4\)，则 \(\sigma(Y-X)=\)（ ）23-24(2)A·第7题3分
(A) \(1\)
(B) \(3\)
(C) \(5\)
(D) \(7\)
89.设随机变量 \(X\sim N(0,1)\)，\(Y\sim N(1,4)\)，且相关系数 \(\rho_{XY}=1\)，则（ ）23-24(2)B·第6题3分
(A) \(P\{Y=-2X-1\}=1\)
(B) \(P\{Y=2X-1\}=1\)
(C) \(P\{Y=-2X+1\}=1\)
(D) \(P\{Y=2X+1\}=1\)
90.盒子中装有红、蓝 2 种颜色的球若干。从中随机取 2 个球，取到红球的个数记为 \(X\)；将取出的红球、蓝球数量都增加一倍后放回，再随机取 2 个球，此时取到的红球数记为 \(Y\)，则（ ）24-25(2)B·第2题3分
(A) \(E(X)=E(Y),\ \mathrm{Cov}(X,Y)\ge 0\)
(B) \(E(X)=E(Y),\ \mathrm{Cov}(X,Y)\le 0\)
(C) \(E(X)\neq E(Y),\ \mathrm{Cov}(X,Y)\ge 0\)
(D) \(E(X)\neq E(Y),\ \mathrm{Cov}(X,Y)\le 0\)
Ch4极限定理
4.1 切比雪夫不等式
91.设 \(EX=3\)，\(E(X^2)=12\)，则根据切比雪夫不等式，\(P(0\lt X\lt 6)\ge\) __________。22-23(2)A·第13题2分
答案：\(\dfrac{2}{3}\)92.设随机变量序列 \(X_1,X_2,\dots,X_n,\dots\) 独立同分布于 \(U(-1,1)\)，令 \(Y=X_1+X_2+\dots+X_{100}\)。则根据切比雪夫不等式，\(P(|Y|\le 10)\ge\) __________；根据大数定律，\(\dfrac{1}{n}(X_1X_2+X_3X_4+\dots+X_{2n-1}X_{2n})\) 依概率收敛到 __________。22-23(2)B·第12题4分
答案：\(P(|Y|\le 10)\ge \dfrac{2}{3}\)；\(0\)93.设非负随机变量 \(X\) 满足 \(E(X^2)=1.1\)，\(D(X)=0.1\)，则根据切比雪夫不等式，有 \(P(0\lt X\lt 2)\ge\)（ ）23-24(1)B·第5题3分
(A) \(0.1\)
(B) \(0.5\)
(C) \(0.9\)
(D) \(1\)
94.设随机变量 \(X\) 服从参数为 2 的泊松分布，\(Y\sim U(0,4)\)，\(E(XY)=5\)，则 \(D(X-Y)=\) __________，应用切比雪夫不等式估计 \(P\{|X-Y|\lt 4\}\ge\) __________。23-24(2)B·第12题4分
答案：\(D(X-Y)=\dfrac{4}{3}\)；\(P\{|X-Y|\lt 4\}\ge \dfrac{11}{12}\)4.2 大数定律
95.设 \(X_1,X_2,X_3,\dots\) 是独立同分布的随机变量序列，\(X_1\) 服从指数分布 \(\mathrm{Exp}\left(\dfrac{2}{3}\right)\)，且对任意 \(\varepsilon\gt 0\)，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\dfrac{1}{n}(2X_1-X_2+2X_3-X_4+\dots+2X_{2n-1}-X_{2n})-A\right|\gt \varepsilon\right)=0\)，则 \(A=\)（ ）23-24(1)A·第5题3分
(A) \(\dfrac{2}{3}\)
(B) \(1\)
(C) \(\dfrac{4}{3}\)
(D) \(\dfrac{3}{2}\)
96.设随机变量列 \(X_1,X_2,\dots,X_n,\dots\) 独立同分布于泊松分布 \(P(2)\)，当 \(n\to\infty\) 时，\(\dfrac{1}{n}\sum X_i^2\) 依概率收敛于 __________。23-24(1)B·第13题2分
答案：\(6\)97.设 \(X_1,X_2,X_3,\dots\) 是独立同分布随机变量序列，共同分布为均匀分布 \(U(-2,4)\)。若 \(\dfrac{1}{n}(X_1X_2+X_3X_4+\dots+X_{2n-1}X_{2n})\xrightarrow{p}A\)，则 \(A=\) __________。23-24(2)A·第12题2分
答案：\(1\)98.设 \(X_1,X_2,X_3,\dots\) 独立同分布，共同的密度函数 \(f(x)=\begin{cases}2(1-x), & 0\lt x\lt 1\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)，则当 \(n\to\infty\) 时，\(\dfrac{1}{n}(X_1^2+X_2^2+\dots+X_n^2)\) 依概率收敛于（ ）24-25(2)B·第5题3分
(A) \(\dfrac{1}{2}\)
(B) \(\dfrac{1}{3}\)
(C) \(\dfrac{1}{4}\)
(D) \(\dfrac{1}{6}\)
4.3 中心极限定理
99.一公寓有 400 户住户，一户住户拥有汽车辆数 \(X\) 的分布律为 \(P(X=0)=0.1\)，\(P(X=1)=0.6\)，\(P(X=2)=0.3\)。根据中心极限定理，至少需要 __________ 个车位，才能使每辆汽车都具有一个车位的概率不低于 0.95。23-24(1)A·第15题2分
答案：\(500\)100.计算机在进行加法时，每个加数按四舍五入取最接近它的整数，设各加数的取整误差相互独立，都服从区间 \((-0.5,0.5)\) 的均匀分布，现有 300 个加数相加，则由中心极限定理，误差总和的绝对值超过 15 的概率约为 __________。23-24(1)B·第15题2分
答案：\(0.0027\)101.已知某厂生产的晶体管寿命服从均值为 100h 的指数分布，现从该厂产品中随机抽取 64 只，假设这些晶体管寿命相互独立。利用中心极限定理计算这 64 只晶体管寿命总和超过 7200h 的概率为 __________。23-24(2)B·第13题2分
答案：\(0.1587\)
Ch5数理统计基础
5.1 统计量与样本矩
102.设总体 \(X\sim B(m,p)\)，\(X_1,X_2,\dots,X_n\) 为来自该总体的简单随机样本，则 \(E\left[\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2\right]=\)（ ）22-23(2)B·第5题3分
(A) \((m-1)np(1-p)\)
(B) \(m(n-1)p(1-p)\)
(C) \((m-1)(n-1)p(1-p)\)
(D) \(mnp(1-p)\)
103.设 \(X_1,X_2,X_3,X_4\) 为来自总体 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) 的简单随机样本，其中 \(\mu\) 已知、\(\sigma^2\) 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是（ ）23-24(1)A·第6题3分
(A) \(\dfrac{\sum X_i^2}{\sigma^2}\)
(B) \(\dfrac{1}{4}\sum X_i\)
(C) \(\min\{X_2,X_3\}\)
(D) \(X_1+X_4-2\mu\)
5.2 三大抽样分布（χ² / t / F）
104.设总体 \(X\sim N(0,\sigma^2)\)，\(X_1,\dots,X_5\) 是 \(X\) 的样本。若 \(\dfrac{B(X_4-X_5)}{\sqrt{AX_1^2+(X_2+X_3)^2}}\sim t(2)\)，则（ ）22-23(2)A·第5题3分
(A) \(A=2,\ B=1\)
(B) \(A=2,\ B=\sqrt{2}\)
(C) \(A=1,\ B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
(D) \(A=1,\ B=\dfrac{1}{2}\)
105.设随机变量 \(X_1,X_2,X_3\) 相互独立，且 \(X_1\sim N(0,4)\)，\(X_2\sim N(0,4)\)，\(X_3\sim N(0,\sigma^2)\)。若 \(\dfrac{1}{4}(X_1^2+X_2^2)+2X_3^2\sim \chi^2(3)\)，则 \(\sigma^2=\) __________。22-23(2)B·第13题2分
答案：\(\dfrac{1}{2}\)106.设随机变量 \(X\sim F(n,n)\)，\(p_1=P(X\ge 1)\)，\(p_2=P(X\le 1)\)，则（ ）23-24(1)A·第7题3分
(A) \(p_1\lt p_2\)
(B) \(p_1=p_2\)
(C) \(p_1\gt p_2\)
(D) 无法比较
107.设 \(X_1,\dots,X_{10}\) 为来自总体 \(X\sim N(1,1)\) 的简单随机样本，其均值和方差分别为 \(\bar X\)、\(S^2\)，则统计量 \(10(\bar X-1)^2+9S^2\) 服从 __________ 分布（标明参数）。23-24(1)A·第16题2分
答案：\(\chi^2(10)\)108.设总体 \(X\sim N(0,4)\)，且 \(X_1,\dots,X_5\) 为来自总体的简单随机样本，且满足 \(a(X_1-X_2)^2+b(X_3+X_4+X_5)^2\) 服从 \(\chi^2(2)\)，则常数 \(a=\) __________，\(b=\) __________。23-24(1)B·第14题4分
答案：\(a=\dfrac{1}{8}\)；\(b=\dfrac{1}{12}\)109.设随机变量 \(X_i\sim N(0,i^2)\)，\(i=1,2,3,4\) 相互独立，若 \(\dfrac{AX_1^2+BX_2^2}{(X_3+X_4)^2}\sim F(2,1)\)，则 \(A=\) __________，\(B=\) __________。23-24(2)A·第13题4分
答案：\(A=\dfrac{25}{2}\)；\(B=\dfrac{25}{8}\)110.设总体 \(X\sim N(3,16)\)，\(X_1,\dots,X_{16}\) 是来自该总体的样本，\(\bar X\) 和 \(S^2\) 分别表示样本均值和样本方差，则下列结论中不正确的是（ ）23-24(2)B·第7题3分
(A) \(\dfrac{15S^2}{16}\sim \chi^2(15)\)
(B) \(\dfrac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}(X_i-3)^2\sim \chi^2(16)\)
(C) \(\mathrm{Cov}(\bar X,S^2)=0\)
(D) \(\dfrac{\bar X-3}{4}\sim N(0,1)\)
111.设 \(X_1,X_2,X_3,X_4\) 为来自总体 \(N(1,\sigma^2)\) 的简单样本，则统计量 \(\dfrac{X_1-X_2}{|X_3+X_4-2|}\) 服从的分布是（ ）23-24(2)B·第8题3分
(A) \(t(1)\)
(B) \(N(0,1)\)
(C) \(\chi^2(1)\)
(D) \(F(1,1)\)
112.设总体 \(X\sim N(1,2^2)\)，\(X_1,\dots,X_5\) 是 \(X\) 的样本。令 \(\bar X=\dfrac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)\)，若 \(\dfrac{C(X_4-X_5)^2}{(X_1-\bar X)^2+(X_2-\bar X)^2+(X_3-\bar X)^2}\) 服从 \(F\) 分布，则（ ）24-25(2)B·第6题3分
(A) 自由度为 \((1,2)\)，\(C=1\)
(B) 自由度为 \((1,3)\)，\(C=1\)
(C) 自由度为 \((1,2)\)，\(C=2\)
(D) 自由度为 \((1,3)\)，\(C=2\)
Ch6参数估计
6.1 矩估计
113.设总体 \(X\sim B(10,p)\)，\(X_1,\dots,X_n\) 是来自总体的样本，\(\bar X\) 是样本均值，则 \(p\) 的矩估计量是 __________。22-23(2)B·第14题2分
答案：\(\hat p=\dfrac{\bar X}{10}\)6.2 矩估计 + 极大似然估计（综合大题）
114.设总体 \(X\) 的分布列为 \(P(X=1)=\theta\)，\(P(X=2)=\theta-\theta^2\)，\(P(X=3)=(1-\theta)^2\)，其中未知参数 \(\theta\in(0,1)\)。根据 \(X\) 的样本 \(1,1,3,2,3\)，求：（1）\(\theta\) 的矩估计值；（2）\(\theta\) 的极大似然估计值。22-23(2)A·第18题10分
115.设总体 \(X\) 服从 \([\theta-1,3\theta+1]\) 上的均匀分布，其中 \(\theta\) 为未知参数，\(X_1,\dots,X_n\) 是来自总体 \(X\) 的简单随机样本。（1）求 \(\theta\) 的矩估计量 \(\hat\theta_1\)，并比较估计量 \(\hat\theta_1\) 与 \(\hat\theta_2=\dfrac{1}{2(n-1)}\sum X_j\) 的有效性；（2）求 \(\theta\) 的极大似然估计量 \(\hat\theta\)。23-24(1)A·第21题10分
116.已知总体 \(X\) 的分布函数为 \(F(x;\theta)=\begin{cases}1-\dfrac{1}{x^\theta}, & x\ge 1\\ 0, & x\lt 1\end{cases}\)，其中参数 \(\theta\gt 1\)，\(X_1,\dots,X_n\) 为来自总体 \(X\) 的简单随机样本。求：（1）未知参数 \(\theta\) 的矩估计量；（2）未知参数 \(\theta\) 的极大似然估计量。23-24(1)B·第20题10分
117.设总体 \(X\) 的密度函数 \(f(x;\theta)=\begin{cases}\dfrac{2x}{\theta^2}, & 0\le x\le \theta\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)，其中未知参数 \(\theta\gt 0\)，\(X_1,\dots,X_n\) 是其样本。求 \(\theta\) 的矩估计量和极大似然估计量。23-24(2)A·第18题10分
118.设总体 \(X\) 的分布列为 \(P(X=-1)=1-\theta\)，\(P(X=1)=\dfrac{\theta}{3}\)，\(P(X=2)=\dfrac{2\theta}{3}\)，其中未知参数 \(\theta\gt 0\)，若 \(2,-1,1,1,2\) 是来自该总体的简单样本。求 \(\theta\) 的矩估计值和极大似然估计值。23-24(2)B·第19题10分
119.设总体 \(X\) 的密度函数 \(f(x;\theta)=\begin{cases}\dfrac{2x}{\theta^2}, & 0\lt x\lt \theta\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)，其中未知参数 \(\theta\gt 0\)，\(X_1,\dots,X_n\) 是 \(X\) 的样本。（1）求 \(\theta\) 的矩估计；（2）求 \(\theta\) 的极大似然估计。24-25(2)B·第18题12分
6.3 估计量的评价（无偏性 / 有效性）
120.设 \(X_1,X_2,X_3\) 相互独立，且 \(X_1\sim N(\mu,1)\)，\(X_2\sim N(\mu,2)\)，\(X_3\sim N(\mu,3)\)，则下列选项中 \(\mu\) 的最有效的无偏估计是（ ）22-23(2)A·第6题3分
(A) \(\dfrac{1}{6}X_1+\dfrac{1}{6}X_2+\dfrac{1}{6}X_3\)
(B) \(\dfrac{1}{3}X_1+\dfrac{1}{6}X_2+\dfrac{1}{9}X_3\)
(C) \(\dfrac{1}{3}X_1+\dfrac{1}{3}X_2+\dfrac{1}{3}X_3\)
(D) \(\dfrac{1}{2}X_1+\dfrac{1}{3}X_2+\dfrac{1}{6}X_3\)
121.设总体 \(X\sim U(0,\theta)\)，\(X_1,\dots,X_5\) 是 \(X\) 的样本，\(\bar X\) 是样本均值。设 \(\hat\theta_1=2\bar X\)，\(\hat\theta_2=\max\{X_1,\dots,X_5\}\) 是 \(\theta\) 的两个估计量。（1）判断 \(\hat\theta_1\)、\(\hat\theta_2\) 是否为无偏估计，求常数 \(C_i\) 使得 \(\tilde\theta_i=C_i\hat\theta_i\ (i=1,2)\) 是无偏估计；（2）在无偏–有效性准则下，分析 \(\hat\theta_1\)、\(\hat\theta_2\) 这两个估计的优劣并说明理由。22-23(2)B·第19题12分
122.设总体 \(X\sim U(0,\theta)\)，\(X_1,X_2,X_3\) 是其样本，则下列选项中 \(\theta\) 的最有效的无偏估计是（ ）23-24(2)A·第8题3分
(A) \(X_1+\dfrac{1}{2}X_2+\dfrac{1}{2}X_3\)
(B) \(\dfrac{1}{2}X_1+\dfrac{1}{4}X_2+\dfrac{1}{4}X_3\)
(C) \(\dfrac{1}{3}X_1+\dfrac{1}{3}X_2+\dfrac{1}{3}X_3\)
(D) \(X_1+\dfrac{1}{3}X_2+\dfrac{2}{3}X_3\)
123.设 \(X\sim U(0,2\theta)\)，\(X_1,X_2,X_3\) 是 \(X\) 的样本，则下列 \(\theta\) 的估计中最有效的无偏估计是（ ）24-25(2)B·第7题3分
(A) \(\dfrac{1}{2}X_1+\dfrac{1}{3}X_2+\dfrac{1}{6}X_3\)
(B) \(\dfrac{1}{4}X_1+\dfrac{1}{2}X_2+\dfrac{1}{4}X_3\)
(C) \(\dfrac{1}{5}X_1+\dfrac{2}{5}X_2+\dfrac{2}{5}X_3\)
(D) \(\dfrac{1}{3}X_1+\dfrac{1}{5}X_2+\dfrac{1}{5}X_3\)
124.设总体 \(X\) 的数学期望 \(E(X)=0\)，方差 \(D(X)=\sigma^2\)，而 \(X_1,\dots,X_n\ (n\gt 2)\) 是来自总体 \(X\) 的简单随机样本，\(\bar X\)、\(S^2\) 分别是样本均值和样本方差，则下列属于 \(\sigma^2\) 的无偏估计量的是（ ）23-24(1)B·第7题3分
(A) \(n\bar X^2+S^2\)
(B) \(\dfrac{1}{2}(n\bar X^2+S^2)\)
(C) \(\dfrac{1}{3}(n\bar X^2+S^2)\)
(D) \(\dfrac{1}{4}(n\bar X^2+S^2)\)
6.4 置信区间
125.设总体 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,\dots,X_n\) 是其样本，\(\bar X\) 为样本均值，\(S^2\) 为样本方差，则 \(\sigma^2\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的单侧置信下限为（ ）22-23(2)A·第7题3分
(A) \(\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha}(n-1)}\)
(B) \(\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_\alpha(n-1)}\)
(C) \(\dfrac{S^2}{\chi^2_{1-\alpha}(n-1)}\)
(D) \(\dfrac{S^2}{\chi^2_\alpha(n-1)}\)
126.设总体 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,\dots,X_n\) 为简单随机样本，\(\bar X\) 和 \(S^2\) 分别是样本均值和样本方差，若方差 \(\sigma^2\) 已知，则总体均值 \(\mu\) 的置信度为 \(1-\alpha\) 的单侧置信下限为（ ）22-23(2)B·第8题3分
(A) \(\bar X-\dfrac{\sigma}{\sqrt n}z_{\alpha/2}\)
(B) \(\bar X-\dfrac{\sigma}{\sqrt n}z_\alpha\)
(C) \(\bar X-\dfrac{S}{\sqrt n}t_{\alpha/2}(n-1)\)
(D) \(\bar X-\dfrac{S}{\sqrt n}t_\alpha(n-1)\)
127.设总体 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\) 未知，从总体中抽取容量为 36 的样本，样本均值 \(\bar x=3.5\)，样本方差 \(s^2=4\)，则 \(\mu\) 置信水平为 0.95 的单侧置信下限是（ ）23-24(1)A·第8题3分
(A) \(2.9368\)
(B) \(2.8233\)
(C) \(4.1767\)
(D) \(4.0632\)
128.设总体 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，其中 \(\sigma^2\) 未知，\(S^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2\)，样本容量 \(n\)，则参数 \(\mu\) 的置信度为 \(1-\alpha\) 的双侧置信区间为（ ）23-24(1)B·第8题3分
(A) \((\bar X-\dfrac{S}{\sqrt n}t_{\alpha/2}(n),\ \bar X+\dfrac{S}{\sqrt n}t_{\alpha/2}(n))\)
(B) \((\bar X-\dfrac{S}{\sqrt n}t_{\alpha/2}(n-1),\ \bar X+\dfrac{S}{\sqrt n}t_{\alpha/2}(n-1))\)
(C) \((\bar X-\dfrac{\sigma}{\sqrt n}t_{\alpha/2}(n),\ \bar X+\dfrac{\sigma}{\sqrt n}t_{\alpha/2}(n))\)
(D) \((\bar X-\dfrac{\sigma}{\sqrt n}t_{\alpha/2}(n-1),\ \bar X+\dfrac{\sigma}{\sqrt n}t_{\alpha/2}(n-1))\)
129.设总体 \(X\sim N(\mu,3^2)\)，其中参数 \(\mu\) 未知，样本观测值为 \(11,14,9,10,11,12,10,13,9\)，则 \(\mu\) 的置信水平为 0.95 的双侧置信上限是 __________。23-24(2)A·第14题2分
答案：\(12.96\)130.设 \(X_1,\dots,X_n\) 是来自总体 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) 的简单样本，参数 \(\mu\)、\(\sigma^2\) 未知，样本均值 \(\bar x=8\)。若参数 \(\mu\) 的置信度为 0.95 的双侧置信区间上限为 9.6，则 \(\mu\) 的置信度为 0.95 的双侧置信区间下限为 __________。23-24(2)B·第14题2分
答案：\(6.4\)
Ch7假设检验
7.1 两类错误与拒绝域
131.设总体 \(X\sim U(-\theta,\theta)\)，根据 \(X\) 的样本 \(x_1\) 对假设检验问题 \(H_0:\theta=1\ \text{vs}\ H_1:\theta=2\)，若取拒绝域 \(W=\{|x_1|\gt c\}\)，检验水平为 0.1，则常数 \(c=\)（ ）22-23(2)A·第8题3分
(A) \(0.1\)
(B) \(0.2\)
(C) \(0.9\)
(D) \(1.8\)
132.设总体 \(X\sim N(\mu,1)\)，其中 \(\mu\in\mathbb{R}\) 未知，\(x_1,\dots,x_{16}\) 是总体 \(X\) 的样本值，对假设检验问题 \(H_0:\mu=2\)，\(H_1:\mu\neq 2\)，取拒绝域 \(W=\{\bar x\ge 2.5\}\)，则该检验犯第一类错误的概率是 __________。23-24(2)B·第15题2分
答案：\(0.0228\)133.设总体 \(X\sim U(0,\theta)\)，其中 \(\theta\) 是未知参数，\(X_1,X_2\) 是 \(X\) 的样本。考虑假设检验问题 \(H_0:\theta=2\ \text{vs}\ H_1:\theta=3\)，拒绝域 \(W=\{(x_1,x_2)\mid \max\{x_1,x_2\}\gt 1.8\}\)，则发生第二类错误的概率是（ ）24-25(2)B·第8题3分
(A) \(0.16\)
(B) \(0.36\)
(C) \(0.64\)
(D) \(0.84\)
7.2 均值检验（Z 检验 / t 检验）
134.设某品牌饮料的维 C 含量（单位: mg/l）服从正态分布。现抽取该品牌饮料 9 瓶，测得维 C 含量的样本均值 \(\bar x=21.5\)，样本标准差 \(s=2\)。取显著性水平 \(\alpha=0.05\)，能否认为该品牌饮料的维 C 含量平均值为 20 mg/l？22-23(2)A·第19题10分
135.某厂生产的一种产品的长度（单位: cm）\(X\sim N(12,1)\)，改革加工工艺后，从新产品中随机抽取了 100 件，测得样本均值 \(\bar x=12.5\)。设方差没有改变，问在显著性水平 \(\alpha=0.1\) 下，改革工艺后该产品的平均长度是否有明显变化？23-24(1)A·第22题8分
136.假设子弹的初速率（单位: m/s）服从正态分布。从一批子弹中随机抽取 9 发，测得初速率的样本均值为 870，样本标准差为 24，取显著水平 0.05，问能否认为这批子弹初速率的均值不低于 900？23-24(2)A·第19题8分
137.设尼龙钓鱼绳平均拉力（单位: kN）服从正态分布。产品说明书称普通 6 号尼龙钓鱼绳平均拉力不小于 12。现在随机抽查了 16 根，测得平均拉力为 11.8，标准差为 0.4。在显著性水平 \(\alpha=0.01\) 下检验产品是否与说明书有显著差别。23-24(2)B·第20题8分
7.3 方差检验（χ² 检验）
138.从一批保险丝中抽取 10 根，试验其熔化时间（单位: 秒），结果为 43, 65, 75, 70, 59, 57, 69, 55, 57, 72。假设熔化时间服从正态分布，在显著性水平 \(\alpha=0.05\) 下，能否认为熔化时间的方差为 100？22-23(2)B·第20题10分
139.某洗衣粉厂用自动包装机进行包装，正常情况下包装的重量（单位: g）\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)。现随机抽取 25 袋洗衣粉，测得平均重量 \(\bar x=501.5\) g，样本标准差 \(s=2.5\) g。取显著性水平 \(\alpha=0.1\)，问可否认为 \(\sigma^2\) 显著大于 \(6\ \mathrm{g^2}\)？23-24(1)B·第21题8分
140.设某种油漆的干燥时间（单位: 小时）服从正态分布。现选取 9 个样本，测得干燥时间的样本标准差 \(s=0.5\)，取显著水平 \(\alpha=0.05\)，能否认为干燥时间的标准差显著低于 0.8？24-25(2)B·第19题8分